3.6 关节空间和工作空间的混合轨迹规划
为了更好地对关节空间轨迹规划和工作空间轨迹规划拟合曲线进行分析，对两种轨 迹规划方法得到的delta机器人工作空间整体拟合曲线进行对比如图3-19所示，红色实 线和绿色虚线分别表示工作空间和关节空间轨迹规划得到的工作空间拟合曲线，图（a) 为工作空间内的整体位移曲线图，图（b)为末端执行器水平转运阶段位移曲线放大图，由图可知，利用关节空间轨迹规划方法得到的拟合曲线在水平转运阶段y轴方向的抖动大约为9mm，抖动的主要原因有两方面：第一，在关节空间轨迹规划中，对拐弯半径控 制点进行调整，以减小delta机器人末端执行器抓取和释放物体的竖直运行阶段x轴方 向的抖动，但是，增加了水平转运阶段y轴方向的抖动；第二，在关节空间轨迹规划中， 选取的工作空间关键点不对称。图（c)、（d)为delta机器人末端执行器抓取和释放物 体的竖直运行阶段放大图，由图可知，关节空间轨迹规划方法得到的拟合曲线在x轴方 向分别有0.6mm、0.8mm的轻微抖动。工作空间轨迹规划方法得到的拟合曲线在x、j 轴方向没有抖动，结合图3-12和3-16可知，利用工作空间轨迹规划方法得到的工作空 间拟合曲线明显好于利用关节空间轨迹规划方法得到的工作空间拟合曲线。
对拟合曲线图3-11和3-17进行对比，可知关节空间内轨迹规划得到的关节空间拟合曲线和工作空间轨迹规划得到的关节空间拟合曲线速度、加速度峰值相差不大，但由 关节空间轨迹规划得到的拟合曲线均连续可导，工作空间轨迹规划得到的拟合曲线连续 但不可导。
对拟合曲线图3-12和3-16进行对比，可知关节空间轨迹规划得到的工作空间拟合 曲线x轴方向的速度峰值小于工作空间轨迹规划得到的拟合曲线x轴方向的速度峰值， 而轴方向的速度峰值相差不大，即末端执行器在中间转运阶段速度峰值相差较大，在 抓取和释放物体的竖直运行阶段速度峰值相差不大。
对拟合曲线图3-13和3-18进行对比，可知关节空间轨迹规划得到的力矩拟合曲线 和工作空间轨迹规划得到的力矩拟合曲线峰值相近，但工作空间轨迹规划得到拟合曲线 的功率峰值明显大于关节空间轨迹规划得到拟合曲线的功率峰值，尤其是在末端执行器 的中间转运阶段，功率相差较大。
总结发现，在末端执行器的竖直运行阶段，从末端执行器水平方向是否抖动、3^由 方向速度峰值大小、驱动电机力矩峰值大小和功率峰值大小等方面考虑，工作空间轨迹 规划得到的拟合曲线明显好于关节空间轨迹规划得到的拟合曲线；在末端执行器的中间 转运阶段，从末端执行器x方向的速度峰值大小、驱动电机力矩峰值大小和功率峰值大 小等方面考虑，关节空间轨迹规划得到的拟合曲线明显好于工作空间轨迹规划得到的拟 合曲线。
基于以上delta机器人的轨迹规划结论，提出了关节空间和工作空间相结合的混合 轨迹规划方法，在末端执行器的竖直运行阶段采用工作空间轨迹规划法，并进行相应的 动力学优化；在末端执行器的中间转运阶段采用关节空间轨迹规划法，并进行相应的动 力学优化。
3.6.1工作空间关键点的选取
利用混合轨迹规划法对delta机器人进行轨迹规划，也需要在工作空间中选取相应 的工作空间关键点，其工作空间关键点如图3-20所示。其中01、78黑色曲线段为抓取 和释放物体的竖直运行阶段，为了避免水平方向的抖动，使用工作空间轨迹规划法进行 轨迹规划；其余蓝色曲线段使用关节空间轨迹规划法进行轨迹规划，以提高机器人的控 制性能，关键点2、6为拐弯半径控制点。
3.6.2混合轨迹规划五次样条函数模型
混合轨迹规划五次样条函数模型是关节空间和工作空间轨迹规划相结合的数学模 型，工作空间轨迹规划曲线段01、78段使用工作空间轨迹规划数学模型，如公式（3- 3)、（3-4)、（3-5)所示；其余关节空间轨迹规划曲线段使用关节空间轨迹规划数学模型， 如公式（3-6)至（3-11)所示。值得注意的是，选取的工作空间关键点1、7是工作空 间轨迹规划法和关节空间轨迹规划法的衔接关键点，该关键点的位移是确定值，速度、 加速度需要人为给定，关键点处的速度和加速度选择是否合理关系到该点两侧速度变化 曲率和加速度变化数值大小，这里仅以关节空间左驱动电机拟合曲线为例进行说明。
当速度选择不合理时，该关键点（0.2s附近，蓝、红色曲线衔接处）成为速度拟合 曲线的尖点（曲线上明显突出的点），并且该关键点附近加速度很大，如图3-21、3-22所 示，分别为关键点处速度选择较小、较大时关节空间左驱动电机速度、加速度拟合曲线。
当加速度选择不合理时，该关键点成为速度曲线的曲率变化关键点，并且该关键点 处的加速度出现尖点，如图3-23、3-24所示，分别为关键点处加速度选择较小、较大时 的关节空间左驱动电机速度、加速度拟合曲线。
当关键点处的速度、加速度选择不合理时，还会出现工作空间位移拟合曲线过冲, 速度拟合曲线抖动较大，加速度拟合曲线峰值较大，所需驱动电机力矩峰值和功率峰值 急剧增加的现象，这里不再赘述。
3.6.3动力学轨迹优化模型
混合轨迹规划的动力学优化模型，结合了工作空间轨迹规划和关节空间轨迹规划的 动力学优化模型，在工作空间轨迹规划曲线段01、78段使用工作空间动力学轨迹优化 数学模型，如公式（3-15)、（3-16)、（3-17)所示；其余关节空间轨迹规划曲线段使用关 节空间动力学轨迹优化数学模型，如公式（3-12)、（3-13)、（3-14)所示。
delta机器人混合空间轨迹规划流程如图3-25所示，其中判断1为选取的工作空间 关键点处速度、加速度是否合理，即关节空间中拟合曲线，位移是否过冲，速度是否为 尖点，加速度是否很大或者为尖点，以及所需驱动电机力矩峰值和功率峰值是否较大。 判断2、3与工作空间轨迹规划流程图3-15中判断1、2相同；判断4、5与关节空间轨迹规划流程图3-10中判断1、2相同。
3.6.4轨迹规划曲线分析
根据delta机器人关节空间和工作空间的混合轨迹规划五次样条函数模型及其动力 学优化模型，编写机器人的python语言混合空间轨迹规划程序，得到的拟合曲线如图3- 26, 3-27, 3-28所示，其中，左右红色、绿色曲线为关节空间轨迹规划得到的拟合曲线， 左右蓝色、黑色曲线为工作空间轨迹规划得到的拟合曲线。
图3-26为混和轨迹规划法得到的关节空间左右驱动关节运动学拟合曲线，由上至 下分别表示驱动关节角位移、速度、加速度，由图可以看出，关节空间内的位移、速度 拟合曲线均连续可导，加速度拟合曲线连续但不可导。左右驱动关节速度大小均小于8 rad/s,加速度峰值大小分别小于200rad/?、150rad//。
图3-27为混合轨迹规划法得到的工作空间内末端执行器x轴方向和y轴方向拟合 曲线，由上至下分别表示末端执行器的位移、速度、加速度拟合曲线，由图可以看出， 利用以上混合轨迹规划五次样条函数模型及其动力学优化模型，得到的工作空间内末端 执行器的位移、速度拟合曲线均连续可导，加速度拟合曲线连续但不可导，拟合曲线x 轴方向和y轴方向速度峰值大小约为3m/s，加速度峰值大小为60m//，得到的工作 空间内的x、y轴方向速度、加速度拟合曲线的峰值相差较小。
图3-27末端执行器拟合曲线
图3-28为混合轨迹规划法动力学优化后得到的关节空间内驱动电机力矩和功率拟 合曲线，由图可知，左右驱动关节力矩拟合曲线和功率拟合曲线均连续但不可导，左驱动关节力矩拟合曲线大小小于80，m,右驱动关节力矩拟合曲线大小小于等于90，m, 左右关节驱动力矩有一■定差距；同样，左右驱动电机的功率拟合曲线为取值后的拟 合曲线，左驱动关节功率拟合曲线大小小于400vv,右驱动关节功率拟合曲线大小小于 550vv,左右关节驱动功率大小相差较大。
图3-29为混合空间轨迹规划法得到的工作空间拟合曲线图，图（a)为工作空间内 的整体位移曲线图，图（b)为末端执行器水平转运阶段位移曲线放大图，由图可知，利 用关节空间轨迹规划方法得到的拟合曲线在水平转运阶段y轴方向的抖动大约为 0.9mm,较纯关节空间轨迹规划抖动有较大改善，图（c)、（d)为delta机器人末端执行 器抓取和释放物体的竖直运行阶段放大图，由图可知，混合空间轨迹规划方法得到的拟 合曲线在x轴方向没有抖动。基于以上delta机器人的混合轨迹规划五次样条函数模型 及其动力学优化模型得到的拟合曲线，以及混合轨迹规划工作空间内拟合曲线，在末端 执行器竖直抓取和释放物体01、78段，将末端执行器水平x轴方向是否抖动作为主要 衡量指标，将末端执行器y轴方向速度极值大小，关节空间速度、加速度大小，驱动电 机力矩峰值大小和功率峰值大小等作为次要衡量指标，可知混合轨迹规划法得到的工作空间内末端执行器竖直阶段拟合曲线明显好于关节空间轨迹规划法得到的拟合曲线，这 将十分有利于提高delta机器人抓取和释放物体阶段的稳定性；在末端执行器的中间转 运阶段，将末端执行器x轴方向速度峰值大小，关节空间速度、加速度大小，驱动电机 力矩峰值大小和功率峰值大小等作为主要衡量指标，将末端执行器竖直y轴方向是否抖 动作为次要衡量指标，可知混合轨迹规划法得到的关节空间内驱动关节中间转运阶段拟 合曲线明显好于工作空间轨迹规划法得到的拟合曲线，这将十分有利于提高delta机器 人的实际控制性能，同时降低所需驱动电机的功率，具有很强的实用价值。
本文采摘自“高速并联工业机械手臂分析设计与实现”，因为编辑困难导致有些函数、表格、图片、内容无法显示，有需要者可以在网络中查找相关文章！本文由伯特利数控整理发表文章均来自网络仅供学习参考，转载请注明！