问题“将n表示为k个非零整数的不同方式”在许多现实世界的用例中都有应用。
密码学 - 在密码学中，使用将一个数字n编码为k个非零整数之和的概念来设计特定的加密方法。
将一个整数n表示为k个非零整数的和可能会出现在优化方法的不同优化问题的子问题中。
机器学习− 在机器学习中，可以通过使用将整数n表示为k个非零整数之和的问题来创建描述数据点分布的特征向量。
explanation的中文翻译为：解释现在让我们解码这个问题。
假设我们有两个正整数n和k，我们需要找到k个非零整数，它们的和等于n。例如，如果n=10且k=3，我们需要找到三个非零整数，它们的和等于10。在这种情况下可能的解决方案有−
1 + 4 + 52 + 3 + 52 + 4 + 4
请注意，在这些解决方案中，我们有k=3个非零整数，它们相加等于n=10。
解决这个问题有不同的方法，让我们讨论每一种方法。
递归方法使用递归方法的逐步算法，找出用k个非零整数表示n的不同方式。
在主函数中输入n和k的值。
创建函数 f(n, k)，它返回n可以表示为k个非零整数的总方式数。
如果k = 1，当n超过0时返回1，否则返回0。（基本情况）。
如果 n == 0 或者 k > n，则返回 0。 (基本情况)。
创建一个变量 count 来存储结果。
将变量count的值设置为0。
从1到min(n-k+1, n-1)对于每个整数i
递归计算 f (n-i, k-1)。
将结果添加到计数中。
返回计数。
example上述算法的实现
#include <iostream>using namespace std;int f(int n, int k) { if (k == 1) { return (n > 0) ? 1 : 0; // base case } if (n <= 0 || k > n) { return 0; // base case } int count = 0; for (int i = 1; i <= min(n-k+1, n-1); i++) { count += f(n-i, k-1); } return count;}int main() { int n = 5, k = 2; int ways = f(n, k); cout << number of ways to represent << n << as the sum of << k << non-zero integers: << ways << endl; return 0;}
输出number of ways to represent 5 as the sum of 2 non-zero integers: 4
复杂性时间复杂度: o(n ^ k).
空间复杂度: o(k)
二项式系数公式星星和条纹组合方法可以用来得到一个正整数n可以表示为k个非零整数之和的方式的公式。
想象一排n颗星（*），它们代表给定整数的n个分区单元。可以使用k-1个竖线（|）将星星排成k个段，代表分区的k个非零整数。
以将10分成3个非零整数为例。下面的星号和横杠可以用来表示这个过程 −
* * | * * * | * * * * *
这个插图的第一部分描绘了数字2，第二部分描绘了数字3，第三部分描绘了数字5。
在n颗星星的一行中排列k-1个条的方式数量等于用k个非零整数表示n的方式数量。为了计算这个数量，我们使用公式：$\mathrm{c(n\:+\:k\:-\:1,\:k\:-\:1)}$。
根据二项式系数公式 $\mathrm{c(n,k)\:=\:n!\:/(k!*(n-k)!)}$。
但在我们的情况下，我们需要排除包含0的可能性。为了排除包含0作为其中一个加数的分割，我们可以使用以下方法−
从n中减去1得到n-1。
将n-1划分为k-1个非负整数。
将步骤2中获得的k-1个非负整数都加1，得到k个非零整数，它们的和为n。
这种方法有效的原因是每个加数的最小可能值是1（因为我们希望是非零整数），所以我们从n中减去1，以确保有足够的单位可以分配给k个加数。
因此，我们得到公式：ways = c(n-1, k-1)
假设我们想找到用4个非零整数表示6的方式的数量。我们可以使用之前推导出的公式，即 −
c(n-1, k-1) = c(6-1, 4-1) = c(5, 3) = 10
这告诉我们将6分成4个非零整数有10种方法。
他们是 −
1 + 1 + 1 + 3
1 + 1 + 2 + 2
1 + 1 + 3 + 1
1 + 2 + 1 + 2
1 + 2 + 2 + 1
1 + 3 + 1 + 1
2 + 1 + 1 + 2
2 + 1 + 2 + 1
2 + 2 + 1 + 1
3 + 1 + 1 + 1
方法让我们讨论一下实现上述方法的逐步算法 -
在主函数中输入n和k的值。
使用上述公式计算方法的数量。
打印出变量 ways 的值。
现在让我们来写一些代码。
示例使用二项式系数方法的代码实现
#include <iostream>using namespace std;int binomial(int n, int k) { int res = 1; if (k > n - k) { k = n - k; } for (int i = 0; i < k; ++i) { res *= (n - i); res /= (i + 1); } return res;}int main() { int n = 7, k = 2; int ways = binomial(n - 1, k - 1); cout << number of ways to represent << n << as the sum of << k << non-zero integers: << ways << endl; return 0;}
输出number of ways to represent 7 as the sum of 2 non-zero integers: 6
复杂性时间复杂度: o( k).
空间复杂度: o(1)
结论在这篇文章中，我们尝试解释了一种找出将n表示为k个非零整数之和的方法。我希望这篇文章能帮助你更好地理解这个概念。
以上就是将n表示为k个非零整数的不同方式的详细内容。