3.3轨迹规划样条函数
按照使用的轨迹规划样条函数次数分类，可以将轨迹规划样条函数分为一次、二次、 三次、五次和多次。一次样条函数轨迹规划法又称为速度常系数轨迹规划法，该方法中 速度作为常数，位置是时间的的一次线性函数，当速度突变时加速度无穷大，随后加速 度变为零，由于理论上无穷大的加速突变会对系统造成很大冲击，因此，在机器人的轨 迹规划中，很少使用一次样条函数。二次样条函数轨迹规划法又称为常加速度轨迹规划法。
使用二次样条函数得到的单段轨迹规划拟合曲线如图3-2所示，图中假设始末速度 v。，vl均为0,从图中可以看出，由该方法得到的拟合曲线的加速度是常数，拟合曲线 相对于常速度轨迹规划法有较大的改善，但存在加速度的跳跃现象，在加速度跳跃处， 加加速度无穷大，对于机器人的高速运行仍会有较大影响，因此，二次样条函数轨迹规划法使用较少。
在三次样条函数的轨迹规划中，得到的拟合曲线的加速度是时间的一次函数，由于 三次样条函数轨迹规划法简单易懂、可控性好，因而被广泛使用，三次样条函数轨迹规 划数学模型如式（3-2)所示。
使用三次样条函数得到的单段轨迹规划拟合曲线如图3-3所示，图(g)中假设始末 速度v。，&均为0，图⑷中假设始末速度v。，k分别为10、5，从图中可以看出由该方 法得到的拟合曲线的加速度是时间的一次函数，拟合曲线相对于常加速度轨迹规划法有 较大改善。
利用三次样条函数对通过多个空间关键点的多段轨迹进行轨迹规划时，需要根据空 间中的关键点对其进行分段，再对相邻两关键点进行相应的轨迹规划，为了使动作连贯，轨迹规划中需要对关键点处的速度进行赋值，从而，使机器人以一定的速度和加速度通过中间关键点。为了对这一类的含有多个空间关键点的多段运动的三次样条函数轨迹规 划曲线进行说明，在空间中选取4个关键点，得到的拟合曲线如图3-4所示，从图中可 以看出，由三次样条函数轨迹规划法得到的位移拟合曲线连续可导，速度拟合曲线连续 但不可导，加速度拟合曲线出现跳跃，在加速度跳跃处加加速度无穷大，对于机器人的 高速运行仍会有一些影响。
由以上分析可知，一次样条函数中速度是常数，二次样条函数中加速度是常数，三 次样条函数中加加速度是常数，为了克服三次样条函数轨迹规划结果加速度不连续的缺 点，提高样条函数的次数，使用五次样条函数轨迹规划法进行轨迹规划。
知条件与单段三次样条函数轨迹规划己知条件相同。由该方法得到的 拟合曲线的加加速度的一阶导数是时间的一次函数，加速度、加加速度拟合曲线均连续 可导，拟合曲线相对于三次样条函数轨迹规划法有较大的改善。
同三次样条函数的多段轨迹规划类似，五次样条函数对通过多个空间关键点的多段 轨迹进行轨迹规划时，需要根据空间中的关键点对其进行分段，再对相邻两关键点进行 相应的轨迹规划，并且，在轨迹规划过程中，需要对关键点处的参数进行赋值以使动作 连贯，这样机器人就会以一定的运动学参数顺利通过中间关键点。为了对这一类的含有 多个空间关键点的多段运动的五次样条函数轨迹规划拟合曲线进行说明，同样，在空间 中选取4个关键点，设置的己知参数与多段三次样条函数轨迹规划相同，得到的轨迹规 划拟合曲线如图3-6所示，从图中可以看出，五次样条函数得到的位移曲线连续可导, 速度曲线连续但不可导，加速度曲线出现跳跃，在加速度跳跃处加加速度较大。
由以上可知，随着样条函数次数的提高，轨迹规划得到的拟合曲线的控制性能也不 断提高，但比较遗憾的是并不是插值次数越高越好，在高次插值中会出现龙格现象，即 次数越高，在插值区间的边界区域会出现插值函数与原函数误差迅速增大、波动增加的 现象，龙格现象会导致机器人轨迹规划拟合曲线不精确、波动，拟合性差以及能耗大等 一系列缺点。并且，样条函数次数越高，现象越明显，龙格现象如图3-7所示，分别为 3、5、7、9、11、13次样条函数拟合曲线，其中黑色曲线为原函数曲线，红色曲线为插 值函数曲线。为了避免龙格现象，需要对样条函数的插值点进行调整，采用切比雪夫零点插值可以避免龙格现象。
对多段运动的三次、五次样条函数轨迹规划拟合曲线进行类比可知，利用该类方法 进行多次样条函数的轨迹规划，得到的在关键点处的位移拟合曲线均连续可导、速度拟 合曲线均连续不可导，加速度等拟合曲线出现跳跃。在加速度跳跃处会出现驱动力或力 矩的突变，突变的力或力矩作为激励可能会引起机构的震动，甚至共振，即使对样条函 数采用切比雪夫零点插值也会出现以上现象。为了解决上述问题，在下面的小节中，将 会采用新的轨迹规划计算方法，使用五次样条函数对机器人进行轨迹规划，以得到连续 可导的位移、速度、加速度甚至加加速度拟合曲线，并将动力学加入到轨迹规划中，当 机器人的几何实体确定后，这将会减小所需驱动电机的力矩和功率或末端执行器的作用 力，极大地提尚机器人的性能，对局速并联机器人的控制具有极大实际意义。
本文采摘自“高速并联工业机械手臂分析设计与实现”，因为编辑困难导致有些函数、表格、图片、内容无法显示，有需要者可以在网络中查找相关文章！本文由伯特利数控整理发表文章均来自网络仅供学习参考，转载请注明！