地球曲率对水平距离的影响
农田面积测量仪来测量地面点的点位,通常是用点的坐标及高程来表示的。地理坐标是地面点在参考椭球面上的投影,而平面直角坐标则是先将地面点投影到参考椭球面上,然后再把参考椭球面投影到平面上,所以确定点的坐标的基准面是参考椭球面。高程的基准面是大地水准面。在测量精度要求不高及测区面积不大的时候,可把参考椭球面及大地水准面当作圆球面来看待。
然而在圆球面上处理测量数据,也是很复杂的。由于地球的半径很大,在局部地区,其曲面与平面很接近,如用水平面来代替球面,收割机面积测量仪处理测量数据将非常方便。
从理论上讲,用水平面代替球面将产生变形,因为曲面上的图形不破裂、不起皱是不能展位平面的。由于测量和绘图不可避免地会产生一定的误差,如果将球面的一部分当作平面,其产生的误差不超过测量与绘图的误差,这时就可允许用水平面来代替球面。
如下图所示,a、b为地面上两点,沿铅垂线方向投影到球面上的a'、b'。过a'点作一水平面,则该水平面与a点的铅垂线正交,设b点在该水平面上的投影为b''。设d为a、b两点投影在水平面上的距离,d'为投影在球面上的弧长,则两者之差△d即为用水平面代替球面所引起的误差。
△d= d- d'
由于d=rtanθ,d'=rθ,则有△d= rtanθ- rθ=r(tanθ-θ)
将tanθ用级数展开,即:tanθ=θ+1/3θ3+2/15θ5+…
由于考虑用水平面代替球面是在较小的局部地区,所以θ角很小,上式中省略高次项,只取前两项,代入上式中得△d=1/3 rθ3
以θ= d'/r带入上式中,因d'与d相差很小,所以d代替d',得
△d= d3/3 r2
或△d/d=d2/3r2
取r=6371千米,以不同d值带入上面的式中,就可以得出距离误差△d及相对误差△d/d,如下表:所示:
由上表可知,当地面上两点间距离为20千米时,用水平面上距离代替球面弧长的距离相对误差约为1/30万,这样微小的误差,在测量距离时是允许的。因此,对距离测量来说,在以10千米为半径的范围内,可以用水平面代替球面。